已知,
,
(1)若对内的一切实数
,不等式
恒成立,求实数
的取值范围;
(2)当时,求最大的正整数
,使得对
(
是自然对数的底数)内的任意
个实数
都有
成立;
(3)求证:.
(1). (2)
的最大值为
.
(3)证明(法一):先得到时,
,即
.
令,得
,
化简得,
.
(法二)数学归纳法:
解析试题分析:(1)由得
,
,
要使不等式
恒成立,必须
恒成立.
设,
,
,
当
时,
,则
是增函数,
,
是增函数,
,
.
因此,实数的取值范围是
. 5分
(2)当时,
,
,
在
上是增函数,
在
上的最大值为
.
要对内的任意
个实数
都有
成立,必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值,当
时不等式左边取得最大值,
时不等式右边取得最小值.
,解得
.
因此,的最大值为
. 9分
(3)证明(法一):当时,根据(1)的推导有,
时,
,
即. 10分
令,得
,
化简得, 13分
. 14分
(法二)数学归纳法:当时,左边=
,右边=
,
根据(1)的推导有,时,
,即
.
令,得
,即
. 因此,
时不等式成立. 10分
(另解:,
,
,即
.)
假设当时不等式成立,即
,
则当时,
,
要证时命题成立,即证
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com