Question

5．已知正实数x，y满足x+2y-xy=0，则x+2y的最小值为8y的取值范围是（1，+∞）．

Answer 1

分析 正实数x，y满足x+2y-xy=0，利用基本不等式的性质可得：x+2y=$\frac{1}{2}$2xy≤$\frac{1}{2}（\frac{x+2y}{2}）^{2}$，解出即可得出最小值．由正实数x，y满足x+2y-xy=0，可得x=$\frac{2y}{y-1}$＞0，解出即可得出y的取值范围．

解答 解：∵正实数x，y满足x+2y-xy=0，
∴x+2y=$\frac{1}{2}$2xy≤$\frac{1}{2}（\frac{x+2y}{2}）^{2}$，化为（x+2y）（x+2y-8）≥0，解得x+2y≥8，当且仅当y=2，x=4时取等号．
则x+2y的最小值为8．
由正实数x，y满足x+2y-xy=0，∴x=$\frac{2y}{y-1}$＞0，∴y（y-1）＞0，解得y＞1．
∴y的取值范围是（1，+∞）．
故答案分别为：8；（1，+∞）．

点评 本题考查了不等式的解法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．