Question

【题目】如图，平面平面，四边形和都是边长为2的正方形，点，分别是，的中点，二面角的大小为60°.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）根据三角形的中位线，有，再利用线面平行的判定定理证明.

（2）根据点，分别是，的中点，二面角的大小为60°，证明平面，然后以点为原点，，（是中点），所在直线分别为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系，再求得平面的一个法向量，利用线面角的向量求法求解.

（1）证明：，分别是，的中点，

.

平面，平面，

平面.

（2）四边形和都是边长为2的正方形，

，，

就是二面角的平面角，

.

连接，在中，，，，

，

.

，.

，，，

平面，.

平面.

以点为原点，，（是中点），所在直线分别为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系，

如图所示：

则，，，，，

，，.

设平面的法向量为，

则，取.

设直线与平面所成角为，

则，

直线与平面所成角的正弦值为.