Question

求下列函数的最大值和最小值．
（1）y=2sin（2x+

π

4

）+1；
（2）y=-cos²x+cosx+

7

4

；
（3）y=

3sinx-1

sinx+2

；
（4）y=3-4cos（2x+

π

3

），x∈[-

π

3

，

π

6

]．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：（1）当sin（2x+

π

4

）分别取1和-1时，函数取最大值和最小值，代入计算可得；
（2）配方可得y=-（cosx-

1

2

）²+2，由二次函数区间的最值可得；
（3）变形可得y=3-

7

sinx+2

，由反比例函数的单调性易得；
（4）由x的范围结合三角函数的性质逐步可得y的范围，即得答案．

解答： 解：（1）当sin（2x+

π

4

）=1时，y=2sin（2x+

π

4

）+1取最大值3；
当sin（2x+

π

4

）=-1时，y=2sin（2x+

π

4

）+1取最小值-1；
（2）配方可得y=-cos²x+cosx+

7

4

=-（cosx-

1

2

）²+2，
故当cosx=

1

2

时，原函数取最大值2，
当cosx=-1时，原函数取最小值-

1

4

；
（3）y=

3sinx-1

sinx+2

=

3(sinx+2)-7

sinx+2

=3-

7

sinx+2

，
当sinx=-1时，原函数取最小值-4，
当sinx=1时，原函数取最大值

2

3

；
（4）∵x∈[-

π

3

，

π

6

]，∴2x+

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴cos（2x+

π

3

）∈[-

1

2

，1]，∴-4cos（2x+

π

3

）∈[-4，2]，
∴y=3-4cos（2x+

π

3

）∈[-1，5]，
∴y=3-4cos（2x+

π

3

），x∈[-

π

3

，

π

6

]的最大值和最小值分别为5和-1

点评：本题考查三角函数的最值，涉及二次函数区间的最值，属基础题．