Question

11．过抛物线y²=4ax（a＞0）的焦点F作斜率为-1的直线，该直线与双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线的交点分别为B，C，若x_C是x_B与x_F的等比中项，则双曲线的离心率等于（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{10}}}{3}$
• C． $2\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{10}$

Answer 1

分析 求出直线的方程和双曲线的渐近线方程，通过解方程组得出x_C，x_B，根据等比中项的性质列方程化简得出a，b的关系．代入离心率公式计算．

解答 解：抛物线的焦点为F（a，0），
∴直线方程为y=-x+a．
∵双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}$=1的渐近线为y=±$\frac{b}{a}x$，
∴直线y=-x+a与渐近线的交点横坐标分别为$\frac{{a}^{2}}{a-b}$，$\frac{{a}^{2}}{a+b}$．
∵x_C是x_B与x_F的等比中项，
∴（$\frac{{a}^{2}}{a+b}$）²=a•$\frac{{a}^{2}}{a-b}$或（$\frac{{a}^{2}}{a-b}$）²=a$•\frac{{a}^{2}}{a+b}$，
∴3ab+b²=0（舍）或3ab-b²=0，∴b=3a．
∴c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{10}a$，
∴双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{10}$．
故选：D．

点评 本题考查了抛物线与双曲线的性质，直线的交点坐标，等比中项，属于中档题．