Question

11．设函数f （x）的导函数为f′（x），对任意x∈R都有f （x）＞f′（x）成立，则（　　）

• A． 3f （ln2）＜2 f （ln3）
• B． 3 f （ln2）=2 f （ln3）
• C． 3 f（ln2）＞2 f （ln3）
• D． 3 f （ln2）与2 f （ln3）的大小不确定

Answer 1

分析 构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，利用导数可判断g（x）的单调性，由单调性可得g（ln2）与g（ln3）的大小关系，整理即可得到答案．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，则g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
因为对任意x∈R都有f（x）＞f′（x），
所以g′（x）＜0，即g（x）在R上单调递减，
又ln2＜ln3，所以g（ln2）＞g（ln3），
即$\frac{f（ln2）}{{e}^{ln2}}$＞$\frac{f（ln3）}{{e}^{ln3}}$，
即3f（ln2）＞2f（ln3），
故选：C．

点评 本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性．