Question

函数f（x）=ax²+2（a-2）x+3在区间（-∞，3]上为减函数，则a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：先对函数f（x）进行求导，由题意得f′（x）=2ax+2a-4≤0在区间（-∞，3]恒成立，列出不等式组，求出a的范围即可．

解答： 解：∵f（x）=ax²+2（a-2）x+3，
∴f′（x）=2ax+2a-4，
∵函数f（x）=ax²+2（a-2）x+3在区间（-∞，3]上为减函数，
∴2ax+2a-4≤0在区间（-∞，3]恒成立．
∴

a≥0 2a×3+2a-4≤0

，
解得：0≤a≤

1

2

，
故a的取值范围为：[0，

1

2

]，
故答案为：[0，

1

2

]．

点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，其中熟练掌握导数法确定函数单调性的方法是解答的关键．