Question

如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,DA⊥面ABP,AB=1,PA=2,∠PAB=60°.

(1)求证:平面PBC⊥面PDC

(2)设E为PC上一点,若二面角B-EA-P的余弦值为-,求三棱锥E-PAB的体积.

 

 

Answer 1

(1)见解析

(2)

【解析】(1)∵AB=1,PA=2,∠PAB=60°,∴在△PAB中,由余弦定理得

PB2=PA2+AB2-2AB·PAcos600=4+1-2×1×2×=3

∴PA2=PB2+AB2,即AB⊥PB

∵DA⊥面ABP,CB∥DA

∴CB⊥面ABPCB⊥AB ,∴AB⊥面PBC

又DC∥AB,∴DC∥面PBC

∵DC面PDC,∴平面PBC⊥面PDC

(2)如图建立空间直角坐标系

则A(0,1,0),P(,0,0),C(0,0,1)

设E(x,y,z),= (0<<1)

则(-,0,1)=(x-,y,z)x=(1-),y=0,z=

设面ABE的法向量为n=(a,b,c), 则

令c=n=(,0,)

同理可求平面PAE的法向量为m=(1,,)

∵cos<n,m>====

∴=或=1(舍去)

∴E(,0,)为PC的中点,其竖坐标即为点E到底面PAB的距离

∴VE-PAB=××1××=