Question

17．已知函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{（4-a）x+3（x≤6）}\\{{a^{x-5}}（x＞6）}\end{array}}$，
（1）当a=2时，若f（x）=1则x=1；
（2）若数列{a_n}，a_n=f（n）（n∈N^*），且数列{a_n}是递增数列，则实数a的取值范围是（3，4）．

Answer 1

分析 （1）根据分段函数的特点，代值计算即可．
（2）解答时可以先根据题意写出数列通项公式的分段函数形式；然后由于数列是递增的即可获得两个条件即：对应等差数列通项n的系数大于零和a₇＞a₆．由此即可获得解答．

解答 解：（1）当a=2时，若f（x）=1，
则$\left\{\begin{array}{l}{2x+3=1}\\{x≤6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x-5}=1}\\{x＞6}\end{array}\right.$，
解得x=-1；
（2）∵数列{a_n}，a_n=f（n）（n∈N^*），且数列{a_n}是递增数列，
∴函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4-a＞0}\\{a＞1}\\{6（4-a）+3＜{a}^{2}}\end{array}\right.$，
解得3＜a＜4，
∴a的范围为（3，4）
故答案为：-1，（3，4）

点评 此题考查的是分段函数与数列的综合问题．在解答过程当中等差数列的性质、函数的单调性以及分段函数的知识都得到了充分的体现．值得同学们体会反思．