Question

14．已知数列{a_n}为等差数列，数列{b_n}为等比数列，a₁=b₁=1，且数列{a_n•b_n}的前n项和S_n=k-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$（k是常数，n∈N^*）．
（1）求k值，并求数列{a_n}与数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{S_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设{a_n}为公差为d的等差数列，{b_n}为公比为q的等比数列，令n=1时，求出k=4，再由n=2，3，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得d，q，再由n=4，可得d=1，q=$\frac{1}{2}$，进而得到所求通项公式；
（2）运用数列的求和方法：错位相减法，化简整理，即可得到所求和．

解答 解：（1）设{a_n}为公差为d的等差数列，
{b_n}为公比为q的等比数列，
数列{a_n•b_n}的前n项和S_n=k-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$，
当n=1时，S₁=1=k-3，解得k=4；
当n=2时，1+（1+d）q=4-$\frac{4}{2}$=2，
当n=3时，1+（1+d）q+（1+2d）q²=4-$\frac{5}{4}$=$\frac{11}{4}$，
解方程可得d=1，q=$\frac{1}{2}$或d=-$\frac{1}{3}$，q=$\frac{3}{2}$．
当n=4时，$\frac{11}{4}$+（1+3d）q³=4-$\frac{6}{8}$=$\frac{13}{4}$，
对d=1，q=$\frac{1}{2}$成立；
即有a_n=a₁+（n-1）d=1+n-1=n，b_n=b₁q^n-1=（$\frac{1}{2}$）^n-1；
（2）S_n=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$，
即有前n项和T_n=4n-（3+$\frac{4}{2}$+$\frac{5}{4}$+…+$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$），
由M_n=3+$\frac{4}{2}$+$\frac{5}{4}$+…+$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$，
$\frac{1}{2}$M_n=$\frac{3}{2}$+$\frac{4}{4}$+$\frac{5}{8}$+…+$\frac{n+2}{{2}^{n}}$，
相减可得，$\frac{1}{2}$M_n=3+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$
=3+$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$，
即有M_n=8-$\frac{n+4}{{2}^{n-1}}$．
则T_n=4n-8+$\frac{n+4}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．