Question

已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，点O₁为B₁D₁的中点．
（1）求证：AB₁∥面A₁O₁D；
（2）若AB=

2

3

AA₁，试问在线段BB₁上是否存在点E使得A₁C⊥AE，若存在求出

BE

BB1

，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连结AD₁交A₁D于点G，由中位线定理得到O₁G∥AB₁，再由线面平行的判定定理即可证得；
（2）若在线段BB₁上存在点E，使得A₁C⊥AE，连结A₁B交AE于点M，由线面垂直的性质和判定，得到AE⊥面A₁BC，
根据三角形相似的判定，得到Rt△ABE∽Rt△A₁AB，再由相似的性质得到存在点E有

BE

BB1

=

4

9

．

解答： （1）证明：连结AD₁交A₁D于点G，
∴在△AB₁D₁中，G为AD₁的中点，连结O₁G，
O₁为B₁D₁的中点，∴O₁G∥AB₁，
又O₁G?面A₁O₁D且AB₁?面A₁O₁D，
∴AB₁∥面A₁O₁D；
（2）解：若在线段BB₁上存在点E，使得A₁C⊥AE，
连结A₁B交AE于点M，又BC⊥面ABB₁A₁，且AE?面ABB₁A₁，
∴BC⊥AE，
又∵A₁C∩BC=C，且A₁C，BC?面A₁BC，
∴AE⊥面A₁BC，
∵A₁B?面A₁BC，
∴AE⊥A₁B，
在△AMB和△ABE中有：∠BAM+∠ABM=90°，∠BAM+∠BEA=90°，
∴∠ABM=∠BEA，同理：∠BAE=∠AA₁B，
∴Rt△ABE∽Rt△A₁AB，
∴

BE

AB

=

AB

AA1

，∵AB=

2

3

AA₁，∴BE=

2

3

AB=

4

9

BB₁，
即在线段BB₁上存在点E有

BE

BB1

=

4

9

．

点评：本题考查直线与平面平行的判定定理，考查直线与平面垂直的判定与性质，考查存在性问题，注意运用假设，推结论，是一道中档题．