Question

6．已知函数y=f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称．若对任意的x，y∈R，不等式f（x²-6x+21）+f（y²-8y）＜0恒成立，求x²+y²的取值范围是（　　）

• A． （3，7）
• B． （9，25）
• C． （13，49）
• D． （9，49）

Answer 1

分析 由函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，结合图象平移的知识可知函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，从而可知函数y=f（x）为奇函数，由f（x²-6x+21）+f（y²-8y）＜0恒成立，可把问题转化为（x-3）²+（y-4）²＜4，借助于的有关知识可求．

解答 解：∵函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称
∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即函数y=f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x）
又∵f（x）是定义在R上的增函数且f（x²-6x+21）+f（y²-8y）＜0恒成立
∴（x²-6x+21）＜-f（y²-8y）=f（8y-y² ）恒成立
∴x²-6x+21＜8y-y²
∴（x-3）²+（y-4）²＜4恒成立
设M （x，y），M表示以（3，4）为圆心2为半径的圆内的任意一点，
则x²+y²表示在圆内任取一点与原点的距离d的平方，因为原点到圆心的距离为5，
∴5-2＜$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$＜5+2，
9＜x²+y²＜49．
故选D．

点评 本题考查了抽象函数不等式的运算，及数形结合的思想，属于中档题．