Question

13．已知数列{a_n}是首项为4，公差为3的等差数列，数列{b_n}满足b_n（a_n$\sqrt{{a}_{n+1}}$+a_n+1$\sqrt{{a}_{n}}$）=1，则数列{b_n}的前20项的和为$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 由等差数列的通项公式可得a_n=3n+1，化简可得可得b_n=$\frac{\sqrt{3n+4}-\sqrt{3n+1}}{3\sqrt{（3n+1）（3n+4）}}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{\sqrt{3n+1}}$-$\frac{1}{\sqrt{3n+4}}$），再由数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理即可得到所求和．

解答 解：数列{a_n}是首项为4，公差为3的等差数列，
可得a_n=4+3（n-1）=3n+1，
b_n（a_n$\sqrt{{a}_{n+1}}$+a_n+1$\sqrt{{a}_{n}}$）=1，
可得b_n=$\frac{1}{{a}_{n}\sqrt{{a}_{n+1}}+{a}_{n+1}\sqrt{{a}_{n}}}$=$\frac{1}{（3n+1）\sqrt{3n+4}+（3n+4）\sqrt{3n+1}}$
=$\frac{1}{\sqrt{（3n+1）（3n+4）}（\sqrt{3n+1}+\sqrt{3n+4}）}$=$\frac{\sqrt{3n+4}-\sqrt{3n+1}}{3\sqrt{（3n+1）（3n+4）}}$
=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{\sqrt{3n+1}}$-$\frac{1}{\sqrt{3n+4}}$），
则数列{b_n}的前20项的和为b₁+b₂+…+b₂₀
=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{\sqrt{7}}$+$\frac{1}{\sqrt{7}}$-$\frac{1}{\sqrt{10}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{61}}$-$\frac{1}{8}$）
=$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{8}$）=$\frac{1}{8}$．
故答案为：$\frac{1}{8}$．

点评 本题主要考查数列的求和方法：裂项相消求和，同时考查等差数列的通项公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．