Question

9．已知函数f（x）=e^ax+bx（a＜0）在点（0，f（0））处的切线方程为y=5x+1，且f（1）+f'（1）=12．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的极值；
（Ⅱ）若f（x）＞x²+3在x∈[1，m]上恒成立，求正整数m的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}f'（0）=5\\ f（1）+f'（1）=12\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}a+b=5\\ a{e^a}+b+b+{e^a}=12\end{array}\right.$，化简得a，b，利用导数求极值．
（Ⅱ）f（x）＞x²+3在x∈[1，m]上恒成立，等价于e^-x-x²+6x-3＞0在x∈[1，m]上恒成立．设g（x）=e^-x-x²+6x-3．求出其导函数，讨论导函数的符号，求出g（x）的最小值，最小值大于等于0，求出m的范围．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=e^ax+bx，那么f'（x）=ae^ax+b，
由$\left\{\begin{array}{l}f'（0）=5\\ f（1）+f'（1）=12\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}a+b=5\\ a{e^a}+b+b+{e^a}=12\end{array}\right.$，化简得（e^a-2）（a+1）=0
由a＜0得a=-1，b=6，∴f（x）=e^-x+6x…（3分）
即f'（x）=-e^-x+6=0，得x=-ln6，
∴f（x）在（-∞，-ln6）单调递减，在（-ln6，+∞）单调递增，
∴$f{（x）_{极小值}}=f（-ln6）={e^{ln6}}-6ln6=6-6ln6$，无极大值．…（5分）
（Ⅱ）f（x）＞x²+3在x∈[1，m]上恒成立，等价于e^-x-x²+6x-3＞0在x∈[1，m]上恒成立．
设g（x）=e^-x-x²+6x-3，则g'（x）=-e^-x-2x+6
设h（x）=g'（x）=-e^-x-2x+6，则h'（x）=e^-x-2，…（6分）
∵1≤x≤m，有h'（x）＜0，∴h（x）在区间[1，m]上是减函数，
又∵h（1）=4-e^-1＞0，h（2）=2-e^-2＞0，h（3）=-e^-3＜0，
∴存在x₀∈（2，3），使得h（x₀）=g'（x₀）=0，
当1≤x＜x₀时，有g'（x）＞0，当x＞x₀时，有g'（x）＜0．
∴y=g（x）在区间[1，x₀]上递增，在区间（x₀，m）上递减，
  又∵g（1）=e^-1+2＞0，g（2）=e^-2+5＞0，g（3）=e^-3+6＞0，
   g（4）=e^-4+5＞0，g（5）=e^-5+2＞0，g（6）=e^-6-3＜0．
∴当1≤x≤5时，恒有g（x）＞0；当x≥6时，恒有g（x）＜0；
∴正整数m的最大值为5．…（12分）

点评 本题考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．