Question

9．命题p：关于x的方程x²+ax+2=0无实根，命题q：函数f（x）=log_ax在（0，+∞）上单调递增，若“p∧q”为假命题，“p∨q”真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 分别求到当命题p，q为真时对应的集合，而由题意可知：p真q假或p假q真，分别求解不等式组的解集即可．

解答 解：∵方程x²+ax+2=0无实根，
∴△=a²-8＜0，∴-2$\sqrt{2}$＜a＜2$\sqrt{2}$，
∴命题p：-2$\sqrt{2}$＜a＜2$\sqrt{2}$．
∵函数f（x）=log_ax在（0，+∞）上单调递增，∴a＞1．
∴命题q：a＞1．∵p∧q为假，p∨q为真，∴p与q一真一假．
当p真q假时，-2$\sqrt{2}$＜a≤1，
当p假q真时，a≥2$\sqrt{2}$．
综上可知，实数a的取值范围为（-2$\sqrt{2}$，1]∪[2$\sqrt{2}$，+∞）

点评 本题考查复合命题的真假，涉及对数函数的定义域和一元二次方程根的分布，属中档题．