Question

已知集合D={x|

24-x

x-9

＞0}，若a，b∈D且

1

a

+

1

2b

=

1

12

，则9^a•3^b的最小值为（　　）

• A、27
• B、3²⁷
• C、54
• D、3⁵⁴

Answer 1

考点：基本不等式,有理数指数幂的化简求值

专题：不等式的解法及应用

分析：由

24-x

x-9

＞0，化为一元二次不等式，解得9＜x＜24．由于a，b∈D且

1

a

+

1

2b

=

1

12

，可得12＜b＜24，变形2a+b=

24b

b-6

+b=30+

144

b-6

+（b-6），利用基本不等式的性质可得2a+b的取值范围，即可得出9^a•3^b=3^2a+b的最小值．

解答： 解：由

24-x

x-9

＞0，化为（x-9）（x-24）＜0，解得9＜x＜24．
∵a，b∈D且

1

a

+

1

2b

=

1

12

，
∴9＜a=

12b

b-6

＜24，
∴12＜b＜24，
∴2a+b=

24b

b-6

+b=30+

144

b-6

+（b-6）≥30+2

144 b-6 •(b-6)

=54，当且仅当b=18时取等号．
则9^a•3^b=3^2a+b≥3⁵⁴．
故选：D．

点评：本题考查了分式不等式与一元二次不等式的解法、基本不等式的性质、指数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．