Question

圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A与点P重合）沿圆周逆时针滚动，点A第一次回到点P的位置，则点A走过的路径的长度为

 

．

Answer 1

考点：弧长公式

专题：三角函数的求值

分析：由图可知：圆O的半径r=1，正方形ABCD的边长a=1，以正方形的边为弦时所对的圆心角为

π

3

，正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示，当点A首次回到点P的位置时，正方形滚动了3圈共12次，分别算出转4次的长度，即可得出．

解答： 解：由图可知：∵圆O的半径r=1，正方形ABCD的边长a=1，
∴以正方形的边为弦时所对的圆心角为

π

3

，
正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示，
∴当点A首次回到点P的位置时，正方形滚动了3圈共12次，
设第i次滚动，点A的路程为A_i，
则A₁=

π

6

×|AB|=

π

6

，
A₂=

π

6

××|AC|=

2 π

6

，
A₃=

π

6

×|DA|=

π

6

，
A₄=0，
∴点A所走过的路径的长度为3（A₁+A₂+A₃+A₄）=

2+ 2

2

π．
故答案为：

(2+ 2 )π

2

．

点评：本题考查了正方形与圆的性质、旋转的性质、弧长的计算公式，考查了数形结合、分类讨论的思想方法，考查了分析问题与解决问题的能力，属于难题．