Question

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面边长为8，对角线B₁C=10，D为AC的中点．
（1）求证AB₁∥平面C₁BD；
（2）求直线AB₁到平面C₁BD的距离．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）设B₁C∩BC₁=O，根据OD为△ACB₁的中位线，故有AB₁∥OD，再利用直线和平面平行的判定定理证得AB₁∥平面C₁BD．
（2）由题意可得高CC₁=6，由AB₁∥平面C₁BD，点A到平面C₁BD的距离h即为所求．再由VA-BC1D=VC1-ABD 求得h的值．

解答： 解：（1）设B₁C∩BC₁=O，则由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的性质可得O为B₁C的中点．
再根据D为AC的中点，可得OD为△ACB₁的中位线，故有AB₁∥OD．
而OD?平面C₁BD AB₁?平面C₁BD，故有AB₁∥平面C₁BD．
（2）由正三棱柱底面边长为8，对角线B₁C=10，可得高CC₁=6．
由AB₁∥平面C₁BD，可得点A到平面C₁BD的距离h即为所求．
由于BD=8×

3

2

=4

3

，C₁D=

62+42

=2

13

，再由VA-BC1D=VC1-ABD 可得

1

3

•（

1

2

BD•C₁D）•h=

1

3

•（

1

2

•AD•BD）•C₁C，即

1

3

•（

1

2

×4

3

×2

13

）•h=

1

3

•（

1

2

×4×4

3

）×6，
求得h=

12 13

13

，即直线AB₁到平面C₁BD的距离为

12 13

13

．

点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，用等体积法求点到平面的距离，体现了转化的数学思想，属于基础题．