Question

下列四个命题中：
①“k=1”是“函数y=cos²kx-sin²kx最小正周期为π”的充要条件；
②“m=

1

2

”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0互垂直”的充分不必要条件；
③函数y=

x2+4

x2+3

的最小值为2；
其中假命题的为

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①利用二倍角的余弦公式与余弦函数的周期公式可求得k=±1时，函数y=cos²kx-sin²kx最小正周期为π，再利用充分必要条件的概念可判断①；
②依题意，（m+2）（m-2）+3m（m+2）=0，解得：m=-2或m=

1

2

，利用充分必要条件的概念可判断②；
③函数y=

x2+4

x2+3

=

x2+3

+

1

x2+3

，令t=

x2+3

（t≥

3

），则y=t+

1

t

在[

3

，+∞）上单调递增，计算后可判断③．

解答： 解：①，∵y=cos²kx-sin²kx=cos2kx，
∴k=±1时，函数y=cos²kx-sin²kx最小正周期为π，
∴“k=1”是“函数y=cos²kx-sin²kx最小正周期为π”的充分不必要条件，故①错误；
②，∵直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直，
∴（m+2）（m-2）+3m（m+2）=0，解得：m=-2或m=

1

2

，
∴“m=

1

2

”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0互垂直”的充分不必要条件，故②正确；
③，∵y=

x2+4

x2+3

=

x2+3

+

1

x2+3

，令t=

x2+3

（t≥

3

），则y=t+

1

t

在[

3

，+∞）上单调递增，
∴y≥

3

+

1

3

=

4 3

3

，
∴函数y=

x2+4

x2+3

的最小值为

4 3

3

，故③错误；
综上所述，假命题的为①③．
故答案为：①③．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查充分必要条件的概念及应用，考查二倍角的余弦与余弦函数的周期公式、对勾函数的单调性与最值，考查分析、运算、推理能力，属于中档题．