Question

6．已知函数f（x）=x|x-a|+2x（a∈R）
（1）当a=4时，解不等式f（x）≥8；
（2）当a∈[0，4]时，求f（x）在区间[3，4]上的最小值；
（3）若存在a∈[0，4]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有3个不相等的实数根，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f（x）=x|x-4|+2x，讨论当x≥4时，当x＜4时，去绝对值，解不等式，再求并集即可；
（2）讨论当a∈[0，3]时，当a∈（3，4]时，去绝对值，求出对称轴，判断单调性，可得最小值；
（3）讨论当x＜a时，当x≥a时，取绝对值，求出对称轴，讨论当a∈[0，2]，当a∈[2，4]，结合函数的单调性，求得极值，可得1＜t＜$\frac{1}{2}$（1+$\frac{a}{4}$+$\frac{1}{a}$），设h（a）=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{a}{4}$+$\frac{1}{a}$），运用单调性可得h（a）的最大值，进而得到所求t的范围．

解答 解：（1）当a=4时，f（x）=x|x-4|+2x，
当x≥4时，x（x-4）+2x≥8，解得x≥4（x≤-2舍去）；
当x＜4时，x（4-x）+2x≥8，解得2≤x＜4．
综上可得，f（x）≥8的解集为[2，+∞）；
（2）当a∈[0，3]时，f（x）=x（x-a）+2x=x²+（2-a）x，
对称轴为x=$\frac{a-2}{2}$∈[-1，$\frac{1}{2}$]，
区间[3，4]在对称轴的右边，为增区间，可得f（3）为最小值，即为15-3a；
当a∈（3，4]时，当3＜x＜a时f（x）=x（a-x）+2x=-x²+（2+a）x，
对称轴为x=$\frac{a+2}{2}$∈（$\frac{5}{2}$，3]，区间（3，a）在对称轴的右边，为减区间；
当a≤x≤4时，f（x）=x（x-a）+2x=x²+（2-a）x，
对称轴为x=$\frac{a-2}{2}$∈[$\frac{1}{2}$，1]，
区间[3，4]在对称轴的右边，为增区间，
即有f（a）取得最小值，且为2a．
综上可得，a∈[0，3]时，f（x）的最小值为15-3a；
a∈（3，4]时，f（x）的最小值为2a．
（3）当x＜a时，f（x）=-x²+（2+a）x，对称轴为x=$\frac{a+2}{2}$
当a∈[0，2]知a-$\frac{a+2}{2}$=$\frac{a-2}{2}$≤0，可得x＜a为增函数；
当x≥a时，f（x）=x²+（2-a）x，对称轴为x=$\frac{a-2}{2}$，
当a∈[0，2]知a-$\frac{a-2}{2}$=$\frac{a+2}{2}$＞0，可得x≥a为增函数；
则不满足关于x的方程f（x）=tf（a）有3个不相等的实数根．
当a∈[2，4]时，a＞$\frac{a}{2}$+1＞$\frac{a}{2}$-1，
∴y=f（x）在（-∞，$\frac{a}{2}$+1）上单调增，在（$\frac{a}{2}$+1，a）上单调减，
在（a，+∞）上单调增，
∴当f（a）＜tf（a）＜f（$\frac{a}{2}$+1）时，
关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根；
即2a＜t•2a＜（$\frac{a}{2}$+1）²，
∵a∈[2，4]，∴1＜t＜$\frac{1}{2}$（1+$\frac{a}{4}$+$\frac{1}{a}$），
设h（a）=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{a}{4}$+$\frac{1}{a}$），
∵存在a∈[2，4]使得关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，
∴1＜t＜h（a）_max，
又可证h（a）=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{a}{4}$+$\frac{1}{a}$）在[2，4]上单调增，
∴h（a）_max=h（4）=$\frac{9}{8}$，
∴1＜t＜$\frac{9}{8}$．

点评 本题主要考查分段函数的应用：解不等式和求最值、以及求参数的范围，注意运用分类讨论思想方法和函数单调性的应用，综合性较强，运算量较大，属于难题．