Question

已知函数f（x）=2sin（2x+

π

3

）+a（a为实常数），且当x∈[-

π

12

，

π

12

]时，f（x）的最大值与最小值之和为3．
（1）求实数a的值；
（2）说明函数y=f（x）的图象经过怎样的变换可以得到函数y=sinx的图象？

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的求值

分析：（1）由条件利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值和最小值，再根据最大值与最小值之和为3，求得a的值．
（2）由条件根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得结论．

解答： 解：（1）由于f（x）=2sin（2x+

π

3

）+a（a为实常数），当x∈[-

π

12

，

π

12

]时，
2x+

π

3

∈[

π

6

，

π

2

]，故当2x+

π

3

=

π

6

时，函数取得最小值为1+a，
当2x+

π

3

=

π

2

时，函数取得最大值为2+a，
由f（x）的最大值与最小值之和为3，可得1+a+2+a=3，求得a=0．
（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x+

π

3

），故把f（x）的图象向右平移

π

6

个单位，可得y=2sin2x的图象；
再把所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，可得y=2sinx的图象；
再把所得图象上各点的纵坐标变为原来的

1

2

倍，可得y=sinx的图象．

点评：本题主要考查正弦函数的定义域和值域，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．