Question

5．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，公比为q的等比数列{b_n}的首项$\frac{1}{2}$，且a₁+2q=3，a₂+4b₂=6，S₅=40．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式a_n，b_n；
（2）求数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）运用等差数列的通项和求和公式及等比数列的通项，列方程，解得即可得到所求通项；
（2）化简所求数列，结合裂项相消求和和等比数列的求和公式，化简整理即可得到．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
则$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2q=3}\\{{a}_{1}+d+2q=6}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=40}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{d=3}\\{q=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
所以a_n=2+3（n-1）=3n-1，
b_n=$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{2}$）^n-1=（$\frac{1}{2}$）ⁿ；
（2）$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$）+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-1}$-$\frac{1}{3n+2}$）+2²ⁿ⁺¹，
即有T_n=$\frac{1}{3}$[（$\frac{1}{2}-\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}-\frac{1}{8}$）+…+（$\frac{1}{3n-1}$-$\frac{1}{3n+2}$）]+$\frac{8（1-{4}^{n}）}{1-4}$
=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3n+2}$）+$\frac{1}{3}$（2²ⁿ⁺³-8）
=$\frac{1}{3}$（2²ⁿ⁺³-$\frac{1}{3n+2}$）-$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．