Question

15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a²+b²=ab+c²．
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）若$c=\sqrt{3}$，求S_△ABC的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据余弦定理化简已知的式子，求出cosB和角B的值；
（Ⅱ）根据余弦定理和条件可得3=a²+b²-ab，利用基本不等式求出ab的范围，代入三角形的面积公式即可S_△ABC的最大值．

解答 解：（I）由a²+b²=ab+c²可得，a²+b²-c²=ab，
根据余弦定理得，$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{1}{2}$，…（3分）
又0＜C＜π，则$C=\frac{π}{3}$；       …（5分）
（II）由余弦定理得，c²=a²+b²-2abcosC，
则3=a²+b²-ab，即 ab+3=a²+b²≥2ab   …（7分）
解得ab≤3，…（8分）
因为${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{{\sqrt{3}}}{4}ab$，…（10分）
所以${S_{△ABC}}≤\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$，…（11分）
当且仅当a=b=$\sqrt{3}$时取等号，…（12分）
故S_△ABC的最大值是$\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$．         …（13分）

点评 本题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及基本不等式的应用，属于中档题．