Question

7．设斜率为2的直线l过抛物线y²=ax（a≠0）的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为4，则△OAF外接圆方程为（　　）

• A． （x+1）²+（y-2）²=5
• B． （x-1）²+（y+2）²=5
• C． （x±1）²+（y?2）²=5
• D． （x±1）²+（y±2）²=5

Answer 1

分析 由斜率为2的直线l与y轴交于点A，△OAF的高为|OA|，根据抛物线y²=ax，求出焦点，面积S=$\frac{1}{2}$|OA|×|OF|=4，从而求解a的值．再根据△OAF是直角三角形，|AF|是直径，中点是圆心，即可得到圆的方程．

解答 解：由抛物线y²=ax，可得抛物线焦点F$（{\frac{a}{4}，0}）$，则|OF|=$\frac{a}{4}$．
∵斜率为2直线l与y轴交于点A，那么：△OAF的高为|OA|，且|OA|=$\frac{a}{2}$
面积S=$\frac{1}{2}$|OA|×|OF|=4，
解得：a=±8
所以A（0，±4）．
根据△OAF是直角三角形，|AF|是直径，中点是圆心．
所以：圆的方程为（x±1）²+（y?2）²=5．
故选C．

点评 本题考查了直线与抛物线相交的问题以及圆的方程的求法．属于基础题．