Question

11．二项式（2$\sqrt{x}$-$\frac{a}{\sqrt{x}}$）ⁿ展开式中所有二项式系数和为64，展开式中的常数项为-160，则a=1．

Answer 1

分析 由题意可得二项式（2$\sqrt{x}$-$\frac{a}{\sqrt{x}}$）ⁿ展开的二项式系数和为64为2ⁿ=64，求得n=6，利用二项展开式（2$\sqrt{x}$-$\frac{a}{\sqrt{x}}$）ⁿ的通项公式，再令x的幂指数等于零，求得r的值，可得二项展开式（2$\sqrt{x}$-$\frac{a}{\sqrt{x}}$）ⁿ的常数项为-160即可求出a的值．

解答 解：二项式（2$\sqrt{x}$-$\frac{a}{\sqrt{x}}$）ⁿ展开的二项式系数和为64，即2ⁿ=64，可得n=6．
二项展开式（2$\sqrt{x}$-$\frac{a}{\sqrt{x}}$）ⁿ的通项公式T_r+1=${C}_{6}^{r}{2}^{6-r}{x}^{\frac{6-r}{2}}（-a）^{r}{x}^{-\frac{r}{2}}$．
令$\frac{6-r}{2}-\frac{r}{2}=0$可得常数项，此时r=3．
那么．常数项为${C}_{6}^{3}{2}^{3}（-a）^{3}$=-160．
解得：a=1．
故答案为：1．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，体现了转化的数学思想，属于基础题．