Question

1．已知f（x）=log_a（x-1）+1（a＞0且a≠1）恒过定点M，且点M在直线$\frac{x}{m}+\frac{y}{n}=1$（m＞0，n＞0）上，则m+n的最小值为（　　）

• A． $3+2\sqrt{2}$
• B． 8
• C． $4\sqrt{2}$
• D． 4

Answer 1

分析 由已知可得f（x）=log_a（x-1）+1（a＞0且a≠1）恒过定点M（2，1），进而利用基本不等式，可得m+n的最小值．

解答 解：当x=2时，log_a（x-1）+1=1恒成立，
故f（x）=log_a（x-1）+1（a＞0且a≠1）恒过定点M（2，1），
∵点M在直线$\frac{x}{m}+\frac{y}{n}=1$（m＞0，n＞0）上，
故$\frac{2}{m}+\frac{1}{n}=1$，
故m+n=m+n（m+n）（$\frac{2}{m}+\frac{1}{n}$）=2+1+（$\frac{m}{n}+\frac{2n}{m}$）≥3+2$\sqrt{\frac{m}{n}•\frac{2n}{m}}$=3+2$\sqrt{2}$，
即m+n的最小值为3+2$\sqrt{2}$，
故选：A．

点评 本题考查的知识点是函数恒成立问题，基本不等式的应用，难度中档．