Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，在（0，+∞）是增函数，且f（1）=0，则f（x）＜0的解集为

 

．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：因为本题函数f（x）是抽象型的函数，所以要求f（x）＜0的解集，必须利用函数的单调性，结合已知奇函数的性质得到答案．

解答： 解：∵f（x）＜0，又f（1）=0，
∴f（x）＜f（1），
∵f（x）在（0，+∞）是增函数，
∴0＜x＜1；
∵f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，
∴f（x）在（-∞，0）也是增函数，f（-1）=-f（1）=0，
∴f（x）＜0等价于f（x）＜f（-1），
∴x＜-1；
综上不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜-1或0＜x＜1}
故答案为：{x|x＜-1或0＜x＜1}．

点评：本题考查了奇函数的定义以及性质的运用；奇函数对称区间的单调性相同；对于抽象型不等式求解集，一般利用函数的单调性解．