Question

若函数f（x）=-

1

2

x²+bln（x+2）在（-

3

2

，+∞）上是减函数，则实数b的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：由已知可得：在（-

3

2

，+∞）上，f′（x）＜0恒成立，所以会得到b＜（x+1）²-1，所以只要满足b＜（（x+1）²-1）_min，所以求这个最小值即可．

解答： 解：由已知得：在（-

3

2

，+∞）上，f′（x）=

-(x+1)2+1+b

x+2

＜0，∴-（x+1）²+1+b＜0
∴b＜（x+1）²-1；
∵在（-

3

2

，+∞）上，（x+1）²-1的最小值是-1；
∴b＜-1；
∴b的取值范围是b＜-1．
故答案为：b＜-1．

点评：考查函数导数符号和函数单调性的关系，以及在（-

3

2

，+∞）上，b≤（x+1）²-1，只需b≤（（x+1）²-1）_min．