Question

已知函数f（x）=sin（

π

2

-x）+sinx
（1）求函数y=f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）若f（a-

π

4

）=

2

3

，求f（2a+

π

4

）的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,弦切互化,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用诱导公式化sin（

π

2

-x）为余弦，然后化积，则周期可求，由复合函数的单调性求函数的增区间；
（2）把f（a-

π

4

）=

2

3

代入（1）中的解析式求得sina，分类求出cosa，把f（2a+

π

4

）代入（1）中的函数解析式整理后展开倍角公式求得答案．

解答： 解：（1）f（x）=sin（

π

2

-x）+sinx
=cosx+sinx=sinx+cosx
=

2

(

2

2

sinx+

2

2

cosx)
=

2

(sinxcos

π

4

+cosxsin

π

4

)
=

2

sin(x+

π

4

)．
∴T=2π，
由-

π

2

+2kπ≤x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，得
-

3π

4

+2kπ≤x≤

π

4

+2kπ，k∈Z．
∴函数y=f（x）的单调递增区间为[-

3π

4

+2kπ，

π

4

+2kπ]，k∈Z；
（2）由f（a-

π

4

）=

2

3

，得

2

sin(a-

π

4

+

π

4

)=

2

3

，∴sina=

1

3

，
∴cosa=±

2 2

3

．
则f（2a+

π

4

）=

2

sin(2a+

π

4

+

π

4

)=

2

cos2a=

2

(2cos2a-1)．
当cosa=±

2 2

3

时，f（2a+

π

4

）=

7 2

9

．

点评：本题考查了三角函数的诱导公式，考查了与三角函数有关的复合函数的单调性，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．