Question

8．已知等差数列{a_n}前5项和为50，a₇=22，数列{b_n}的前n项和为S_n，b₁=1，b_n+1=3S_n+1．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{c_n}满足$\frac{c_1}{b_1}+\frac{c_2}{b_2}+…+\frac{c_n}{b_n}={a_{n+1}}$，n∈N^*，求c₁+c₂+…+c₂₀₁₇的值．

Answer 1

分析 （I）设等差数列{a_n}的公差为d，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可首项和公差，即可求出数列{a_n}的通项公式，再根据数列的递推公式可得所以{b_n}为首项为1，公比为4的等比数列，即可求出数列{b_n}的通项公式
（II）根据数列的递推公式先求出{c_n}的通项公式，再分组求和．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d．
依题意得$\left\{\begin{array}{l}5{a_1}+\frac{5×4}{2}d=50\\{a_1}+6d=22\end{array}\right.$，
解得a₁=4，d=3，
所以a_n=a₁+（n-1）d=3n+1．
当n=1时，b₂=3b₁+1=4，
当n≥2时，b_n+1=3S_n+1，b_n=3S_n-1+1，
以上两式相减得b_n+1-b_n=3b_n，则b_n+1=4b_n，
又b₂=4b₁，所以b_n+1=4b_n，n∈N^*．
所以{b_n}为首项为1，公比为4的等比数列，
所以${b_n}={4^{n-1}}$．
（Ⅱ）因为$\frac{c_1}{b_1}+\frac{c_2}{b_2}+…+\frac{c_n}{b_n}={a_{n+1}}$，n∈N^*
当n≥2时，$\frac{c_1}{b_1}+\frac{c_2}{b_2}+…+\frac{{{c_{n-1}}}}{{{b_{n-1}}}}={a_n}$，
以上两式相减得$\frac{c_n}{b_n}={a_{n+1}}-{a_n}=3$，所以${c_n}=3{b_n}=3×{4^{n-1}}$，n≥2．
当n=1时，$\frac{c_1}{b_1}={a_2}$，所以c₁=a₂b₁=7，不符合上式，
所以c₁+c₂+…+c₂₀₁₇=7+3（4+4²+…+4²⁰¹⁶）=$7+3×\frac{{4（1-{4^{2016}}）}}{1-4}={4^{2017}}+3$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．