Question

3．已知函数y=f（x）的图象关于y轴对称，且满足f（x-2）=ax²-（a-3）x+（a-2）
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）=f（x）+x³-x的单调区间和极值；
（3）当方程g（x）=1-m有三个不等的实数根时，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令x-2=t由整体换元的方法求函数f（x）的解析式；（2）求出g（x）的表达式，得到g（x）的导数，解得g（x）的单调区间，从而求出其极值；（3）解不等式0＜1-m＜$\frac{32}{27}$即可．

解答 解：（1）令x-2=t，则x=t+2．
由于f（x-2）=ax²-（a-3）x+（a-2），
所以f（t）=a（t+2）²-（a-3）（t+2）+（a-2）
=at²+3（a+1）t+（3a+4）
∴f（x）=ax²+3（a+1）x+（3a+4）
∵y=f（x）的图象关于y轴对称
∴a≠0且3（a+1）=0，即a=-1
故f（x）=-x²+1；
（2）g（x）=f（x）+x³-x=x³-x²-x+1，
g′（x）=3x²-2x-1=（3x+1）（x-1），
令g′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-$\frac{1}{3}$，
令g′（x）＜0，解得：-$\frac{1}{3}$＜x＜1，
∴g（x）在（-∞，-$\frac{1}{3}$）递增，在（-$\frac{1}{3}$，1）递减，在（1，+∞）递增，
∴g（x）_极大值=g（-$\frac{1}{3}$）=$\frac{32}{27}$，g（x）_极小值=g（1）=0；
（3）由（2）得：0＜1-m＜$\frac{32}{27}$时，方程g（x）=1-m有三个不等的实数根，
解得：-$\frac{5}{27}$＜m＜1．

点评 本题主要考查求函数解析式和根据函数单调性求值的问题．求函数的解析式时一般用换元法、凑配法、方程法等，考查函数的交点问题，是一道中档题．