Question

13．已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数，a≠0，x∈R）．
（1）当函数f（x）的图象过点（-1，0），且方程f（x）=0有且只有一个根，求f（x）的表达式；
（2）若函数f（x）为偶函数且a＞0，设F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x＞0}\\{-f（x），x＜0}\end{array}\right.$ 当m＞-n＞0，试判断F（m）+F（n）能否大于0？

Answer 1

分析 （1）由函数f（x）的图象过点（-1，0），且方程f（x）=0有且只有一个根，构造方程组，求出a，b的值，可得f（x）的表达式；
（2）若函数f（x）为偶函数且a＞0，则b=0．进而f（x）=ax²+1．由F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x＞0}\\{-f（x），x＜0}\end{array}\right.$ m＞-n＞0，可得F（m）+F（n）=a（m²-n²）＞0．

解答 解：（1）因为函数f（x）的图象过点（-1，0），
所以a-b+1=0．
因为方程f（x）=0有且只有一个根，所以△=b²-4a=0．
所以b²-4（b-1）=0．
即b=2，a=1．
所以f（x）=x²+2x+1．…（4分）
（2）f（x）为偶函数，且a＞0，
所以b=0．
所以f（x）=ax²+1．
所以F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x＞0}\\{-f（x），x＜0}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{ax}^{2}+1，x＞0\\-{ax}^{2}-1，x＜0\end{array}\right.$，
因为m＞-n＞0，
所以|m|＞|n|．
此时F（m）+F（n）=f（m）-f（n）=am²+1-an²-1=a（m²-n²）＞0．
所以F（m）+F（n）＞0．         …（7分）

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．