Question

19．已知向量$\overrightarrow{OA}$=（λcosα，λsinα）（λ≠0），$\overrightarrow{OB}$=（-sinβ，cosβ），其中O为坐标原点．
（1）若λ=1且α=$\frac{π}{2}$，β=$\frac{π}{3}$，求向量$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角；
（2）若α-β=$\frac{π}{2}$，求使得|${\overrightarrow{BA}}$|≥2|${\overrightarrow{OB}}$|成立的λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得向量OA，OB，运用数量积的坐标表示可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}$，|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=1，运用向量的夹角公式，计算即可得到所求；
（2）运用向量的加减运算和向量的平方即为模的平方，结合两角差的正弦公式，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）当λ=1且α=$\frac{π}{2}$，β=$\frac{π}{3}$时，$\overrightarrow{OA}$=（0，1），$\overrightarrow{OB}=（{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}}）$，
即有$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}$，|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=1，
则cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OB}|}$=$\frac{1}{2}$，
又＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞∈[0，π]，
可得＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞=$\frac{π}{3}$，
即向量$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角为$\frac{π}{3}$；
（2）由已知$\overrightarrow{BA}=（{λcosα+sinβ，λsinα-cosβ}）$，
|${\overrightarrow{BA}}$|≥2|${\overrightarrow{OB}}$|，即|${\overrightarrow{BA}}$|²≥4|${\overrightarrow{OB}}$|²，
即有（λcosα+sinβ）²+（λsinα-cosβ）²≥4，
即为λ²+1-2λ（sinαcosβ-cosαsinβ）≥4，
即有λ²+1-2λsin（α-β）≥4，
又α-β=$\frac{π}{2}$，则λ²-2λ+1≥4⇒λ²-2λ-3≥0⇒λ≤-1或λ≥3，
可得λ的取值范围是（-∞，-1]∪[3，+∞）．

点评 本题考查向量的数量积的定义和坐标表示，以及向量的平方即为模的平方，同时考查三角函数的恒等变换公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．