Question

1．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{1-x}，x≤0}\\{1-lo{g}_{2}x，x＞0}\end{array}\right.$，若|f（a）|≥2，则实数a的取值范围是$（{-∞，\frac{1}{2}}]∪[{8，+∞}）$．

Answer 1

分析 根据解析式对a分类讨论，分别列出不等式后，由指数、对数函数的性质求出实数a的取值范围．

解答 解：由题意知，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{1-x}，x≤0}\\{1-lo{g}_{2}x，x＞0}\end{array}\right.$，
①当a≤0时，不等式|f（a）|≥2为|2^1-a|≥2，
则2^1-a≥2，即1-a≥1，解得a≤0；
②当a＞0时，不等式|f（a）|≥2为$|1-lo{g}_{2}^{a}|≥2$，
则$1-lo{g}_{2}^{a}≥2$或$1-lo{g}_{2}^{a}≤-2$，
即$lo{g}_{2}^{a}≤-1$或$lo{g}_{2}^{a}≥3$，解得0＜a $≤\frac{1}{2}$或a≥8；
综上可得，实数a的取值范围是$（-∞，\frac{1}{2}]∪[8，+∞）$，
故答案为：$（-∞，\frac{1}{2}]∪[8，+∞）$．

点评 本题考查利用分段函数求不等式的解集，以及指数、对数函数的性质的应用，考查分类讨论思想，化简、变形能力．