Question

19．已知函数的定义域为R⁺，且对任意的正实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），若f（8）=3，则$f（\frac{5}{2}）$=$\frac{15}{16}$．

Answer 1

分析 求出$f（1）=2f（\frac{1}{2}）$，f（2）=2f（1），从而f（8）=2f（4）=4f（2）=8f（1）=3，由此得到f（$\frac{5}{2}$）=f（2）+f（$\frac{1}{2}$），从而能求出结果．

解答 解：∵函数的定义域为R⁺，且对任意的正实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），
∴$f（1）=2f（\frac{1}{2}）$，f（2）=2f（1），
f（8）=2f（4）=4f（2）=8f（1）=3，
∴f（1）=$\frac{3}{8}$，f（2）=2f（1）=$\frac{3}{4}$，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}f（1）=\frac{3}{16}$，
∴f（$\frac{5}{2}$）=f（2）+f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{4}+\frac{3}{16}$=$\frac{15}{16}$．
故答案为：$\frac{15}{16}$．

点评 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．