Question

若sin²x+cosx+a²≥0对一切x∈[π，

3

2

π]恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：计算题,三角函数的求值

分析：把不等式变形，分离参数a，换元后由x的范围求出函数的最大值，由a²大于等于函数的最大值得实数a的取值范围．

解答： 解：由sin²x+cosx+a²≥0对一切x∈[π，

3

2

π]恒成立，得
a²≥-sin²x-cosx=cos²x-cosx-1对一切x∈[π，

3

2

π]恒成立，
令t=cosx，g（t）=t2-t-1=(t-

1

2

)2-

5

4

．
∵x∈[π，

3

2

π]，则t∈[-1，0]．
∴g_max（t）=1，
∴a²≥1，即a≤-1或a≥1．
∴a的取值范围是（-∞，-1]∪[1，+∞）．

点评：本题考查了三角函数的最值，训练了分离变量法，考查了利用配方法求二次函数的最值，是中档题．