Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a＞c．已知

BA

•

BC

=2，cosB=

1

3

，b=3．
（1）求a和c的值；
（2）求cosC的值．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算

专题：解三角形

分析：（1）已知等式利用平面向量的数量积运算法则变形，把cosB的值代入求出ac=6，由余弦定理列出关系式，整理求出a+c=5，联立求出a与b的值即可；
（2）由cosB的值求出sinB的值，再由b与c的值，利用正弦定理求出sinC的值，即可确定出cosC的值．

解答： 解：（1）∵

BA

•

BC

=accosB=2，cosB=

1

3

，
∴ac=6①，
∵b=3，
∴由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-

2

3

ac=（a+c）²-

8

3

ac，即9=（a+c）²-16，
整理得：a+c=5②，
联立①②得：a=2，c=3（不合题意，舍去），
则a=3，c=2；
（2）由cosB=

1

3

，得到sinB=

2 2

3

，
∵b=3，c=2，
∴由正弦定理

b

sinB

=

c

sinC

得：sinC=

csinB

b

=

2× 2 2 3

3

=

4 2

9

，
则cosC=

7

9

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，熟练掌握定理是解本题的关键．