Question

在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，圆O过点M（1，

3

）．
（1）求圆O的方程；
（2）若直线l₁：y=mx-8与圆O相切，求m的值；
（3）过点（0，3）的直线l₂与圆O交于A、B两点，点P在圆O上，若四边形OAPB是菱形，求直线l₂的方程．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）求出半径，即可求圆O的方程；
（2）根据直线和圆相切求出圆心到直线的距离d=r，即可求m的值；
（3）设出直线l₂的方程，利用四边形OAPB是菱形，则对角线垂直的条件即可，求直线l₂的方程．

解答： 解：（1）圆的半径r=

1+( 3 )2

=

4

=2，
则圆O的方程为x²+y²=4；
（2）若直线l₁：y=mx-8与圆O相切，
则圆心到直线的距离d=2，
即d=

|-8|

1+m2

=

8

1+m2

=2，
解得m=±

15

；
（3）由题意可设直线l₂的方程为y=kx+3，
若四边形OAPB是菱形，
∴OP与AB垂直平分，
故圆心O都直线l₂的距离为

1

2

|OP|=1，
即

|3|

1+k2

=1，即k²=8，解得k=±2

2

，
∴直线l₂的方程为y=±2

2

x+3．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据圆心到直线的距离和半径之间的关系是解决本题的关键．