Question

已知F₁、F₂分别是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上 点，O为坐标原点，若|PF₂|：|PO|：|PF₁|=1：2：4，则双曲线的离心率为（　　）

• A、

  2

• B、

  3

• C、2
• D、

  5

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设|PF₂|=t，由|PF₂|：|PO|：|PF₁|=1：2：4，可得|PO|=2t，|PF₁|=4t，运用双曲线的定义，可得3t=2a，
再由余弦定理可得|PF₁|²+|PF₂|²=|OF₁|²+2|OP|²+|OF₂|²，即有16t²+t²=2c²+8t²，即3t=

2

c，再由离心率公式，计算即可得到．

解答： 解：设|PF₂|=t，
由|PF₂|：|PO|：|PF₁|=1：2：4，可得|PO|=2t，|PF₁|=4t，
由双曲线的定义可得，|PF₁|-|PF₂|=3t=2a，
在△PF₁F₂中，OP为中线，
由余弦定理可得|PF₁|²=|OF₁|²+|OP|²-2|OF₁|•|OP|cos∠POF₁，
|PF₂|²=|OF₂|²+|OP|²-2|OF₂|•|OP|cos∠POF₂，
两式相加，结合cos∠POF₁+cos∠POF₂=0，可得
|PF₁|²+|PF₂|²=|OF₁|²+2|OP|²+|OF₂|²，
即有16t²+t²=2c²+8t²，即3t=

2

c，
即有2a=

2

c，
则e=

c

a

=

2

．
故选A．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，同时考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．