Question

9£®ÔÚÖ±½Ç×ø±êϵÖУ¬ÍÖÔ²C₁£º$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1£¨a£¾b£¾0£©$µÄ×ó¡¢ÓÒ½¹µã·Ö±ðΪF₁£¬F₂£¬ÆäÖÐF₂Ò²ÊÇÅ×ÎïÏßC₂£ºy²=4xµÄ½¹µã£¬µãPΪC₁ÓëC₂ÔÚµÚÒ»ÏóÏ޵Ľ»µã£¬ÇÒ$|P{F_2}|=\frac{5}{3}$£®
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£¨¢ò£©¹ýF₂ÇÒÓë×ø±êÖá²»´¹Ö±µÄÖ±Ïß½»ÍÖÔ²ÓÚM¡¢NÁ½µã£¬ÈôÏ߶ÎOF₂ÉÏ´æÔÚ¶¨µãT£¨t£¬0£©Ê¹µÃÒÔTM¡¢TNΪÁڱߵÄËıßÐÎÊÇÁâÐΣ¬ÇótµÄÈ¡Öµ·¶Î§£®

Answer 1

·ÖÎö £¨¢ñ£©ÓÉÍÖÔ²µÄÓÒ½¹µãÊÇÅ×ÎïÏßC₂£ºy²=4xµÄ½¹µã£¬µãPΪC₁ÓëC₂ÔÚµÚÒ»ÏóÏ޵Ľ»µã£¬ÇÒ$|P{F_2}|=\frac{5}{3}$£¬Áгö·½³Ì×飬Çó³öa£¬b£¬ÓÉ´ËÄÜÇó³öÍÖÔ²·½³Ì£®
£¨¢ò£©ÉèMNÖеãΪD£¨x₀£¬y₀£©£¬ÓÉÌâÒâÖªTD¡ÍMN£¬ÉèÖ±ÏßMNµÄ·½³ÌΪx=my+1£¬ÁªÁ¢$\left\{\begin{array}{l}x=my+1\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$£¬µÃ£¨3m²+4£©y²+6my-9=0£¬ÓɸùµÄÅжÏʽ¡¢Î¤´ï¶¨Àí¡¢Ö±Ïß´¹Ö±£¬½áºÏÒÑÖªÌõ¼þ£¬ÄÜÇó³ötµÄÈ¡Öµ£®

½â´ð ½â£º£¨¢ñ£©Å×ÎïÏßy²=4xµÄ½¹µãΪ£¨1£¬0£©£¬$|P{F_2}|={x_p}+1=\frac{5}{3}$£¬¡à${x_p}=\frac{2}{3}$£¬
¡à${y_p}=\frac{2}{3}\sqrt{6}$£¬¡à$P£¨\frac{2}{3}£¬\frac{2}{3}\sqrt{6}£©$£¬
ÓÖF₂£¨1£¬0£©£¬¡àF₁£¨-1£¬0£©£¬
¡à$|P{F_1}|+|P{F_2}|=\frac{7}{3}+\frac{5}{3}=4$£¬¡àa=2£¬
ÓÖ¡ßc=1£¬¡àb²=a²-c²=3£¬
¡àÍÖÔ²·½³ÌÊÇ£º$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$£®
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ÁªÁ¢$\left\{\begin{array}{l}x=my+1\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$£¬ÕûÀíµÃ£¨3m²+4£©y²+6my-9=0£¬
¡ßF₂ÔÚÍÖÔ²ÄÚ£¬¡à¡÷£¾0ºã³ÉÁ¢£¬
¡à${y_1}+{y_2}=\frac{-6m}{{3{m^2}+4}}$£¬
¡à${y_0}=\frac{-3m}{{3{m^2}+4}}$£¬¡à${x_0}=m{y_0}+1=\frac{4}{{3{m^2}+4}}$£¬
¡àk_TD•k_MN=-1£¬¼´$\frac{{\frac{-3m}{{3{m^2}+4}}}}{{\frac{4}{{3{m^2}+4}}-t}}=-m$£¬
ÕûÀíµÃ$t=\frac{1}{{3{m^2}+4}}$£¬
¡ßm²£¾0£¬¡à3m²+4¡Ê£¨4£¬+¡Þ£©£¬¡à$t¡Ê£¨0£¬\frac{1}{4}£©$£¬
¡àtµÄÈ¡Öµ·¶Î§ÊÇ$£¨0£¬\frac{1}{4}£©$£®

µãÆÀ ±¾Ì⿼²éÍÖÔ²·½³ÌµÄÇ󷨣¬¿¼²éʵÊýµÄÈ¡Öµ·¶Î§µÄÇ󷨣¬ÊÇÖеµÌ⣬½âÌâʱҪÈÏÕæÉóÌ⣬עÒâÍÖÔ²ÐÔÖÊ¡¢Ö±ÏßÓëÍÖԲλÖùØϵ¡¢Î¤´ï¶¨ÀíµÄºÏÀíÔËÓã®