Question

1．若f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（1-2a）x+2，x≤1}\\{2{a}^{x}，x＞1}\end{array}\right.$对任意x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0成立，那么a的范围是（　　）

• A． $（\frac{1}{2}，1）$
• B． $[\frac{3}{4}，1）$
• C． $（\frac{1}{2}，\frac{3}{4}]$
• D． $（0，\frac{3}{4}]$

Answer 1

分析 由条件可得f（x）为R上的减函数，可得a满足①0＜a＜1；②1-2a＜0；③2a¹≤1-2a+2．联立①②③，解得a的取值范围．

解答 解：任设x₁＜x₂，$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，
可得 f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）为R上的减函数．
则a满足①0＜a＜1；②1-2a＜0；③2a¹≤1-2a+2．
联立①②③，解得$\frac{1}{2}$＜a≤$\frac{3}{4}$，
故a的取值范围是（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$]．
故选C．

点评 本题主要考查函数的单调性的性质，考查运算能力，属于中档题和易错题．