Question

8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos2C+2cos（A+B）+$\frac{3}{2}$=0，a+b=5，c=$\sqrt{7}$．
（1）求角C的大小；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的内角和，得到A+B=π-C，然后结合二倍角公式化简cos2C+2cos（A+B）+$\frac{3}{2}$=0，求出cosC的值，即可求出结果．
（2）利用余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，结合条件a+b=5，求出a，b的值，再由三角形的面积公式计算可得．

解答 解：（1）在△ABC中，A+B=π-C，
由已知，得（2cos²C-1）+2cos（π-C）+$\frac{3}{2}$=0，
整理，得4cos²C-4cosC+1=0
解得：cosC=$\frac{1}{2}$，
又∵0＜C＜180°
∴C=60°；
（2）由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，
即（$\sqrt{7}$）²=a²+b²-2•abcos60°，①
a+b=5，②
解得b=3，a=2或a=3，b=2．
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$×2×3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了余弦定理、面积公式以及三角函数的化简，考查运算能力，属于中档题．