Question

已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f()＝f(x₁)－f(x₂)，且当x>1时，f(x)>0.

(1)求f(1)的值，并判断f(x)的单调性；

(2)若f(4)＝2，求f(x)在[5,16]上的最大值．

Answer 1

 (1)令x₁＝x₂>0，代入得f(1)＝f(x₁)－f(x₁)＝0，故f(1)＝0.

任取x₁，x₂∈(0，＋∞)，

且x₁>x₂，则>1，由于当x>1时，f(x)>0，

∴f()>0，即f(x₁)－f(x₂)>0，因此f(x₁)>f(x₂)，

∴函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增加的．

(2)∵f(x)在(0，＋∞)上是增加的，

∴f(x)在[5,16]上的最大值为f(16)．

由f()＝f(x₁)－f(x₂)，

得f()＝f(16)－f(4)，

而f(4)＝2，∴f(16)＝4.

∴f(x)在[5,16]上的最大值为4.