Question

7．设函数f（x）=cosx（asinx-cosx）+cos²（x-$\frac{π}{2}$），x∈R，a＞0的最大值为2，则f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值与最小值的差为3．

Answer 1

分析 化简f（x）根据最大值求出a，得出f（x）的解析式，结合正弦函数的图象与性质求出f（x）的最大值与最小值．

解答 解：f（x）=asinxcosx-cos²x+sin²x=$\frac{a}{2}$sin2x-cos2x=$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{4}+1}$sin（2x-φ）（tanφ=$\frac{2}{a}$），
∴$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{4}+1}$=2，解得a=2$\sqrt{3}$．∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
∴当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]．
∴当2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$时，f（x）取得最小值-1；当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最大值2．
∴f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值与最小值的差为2-（-1）=3．
故答案为：3．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题．