Question

12．已知过点A（0，1）的椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁、F₂，B为椭圆上的任意一点，且$\sqrt{3}$|BF₁|，|F₁F₂|，$\sqrt{3}$|BF₂|成等差数列．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线l：y=k（x+2）交椭圆于P，Q两点，若点A始终在以PQ为直径的圆外，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意，利用等差数列和椭圆的定义求出a、c的关系，再根据椭圆C过点A，求出a、b的值，即可写出椭圆C的标准方程；
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），根据题意知x₁=-2，y₁=0；联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}{+y}^{2}=1}\end{array}\right.$消去y，由方程的根与系数关系求得x₂、y₂，由点A在以PQ为直径的圆外，得∠PAQ为锐角，$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$＞0；由此列不等式求出k的取值范围．

解答 解：（1）∵$\sqrt{3}$|BF₁|，|F₁F₂|，$\sqrt{3}$|BF₂|成等差数列，
∴2|F₁F₂|=$\sqrt{3}$|BF₁|+$\sqrt{3}$|BF₂|=$\sqrt{3}$（|BF₁|+|BF₂|），
由椭圆定义得2•2c=$\sqrt{3}$•2a，
∴c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a；
又椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点A（0，1），
∴b=1；
∴c²=a²-b²=a²-1=$\frac{3}{4}$a²，
解得a=2，c=$\sqrt{3}$；
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}{+y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y得：
（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0；
依题意直线l：y=k（x+2）恒过点（-2，0），此点为椭圆的左顶点，
∴x₁=-2，y₁=0，----①
由方程的根与系数关系可得，x₁+x₂=$\frac{-1{6k}^{2}}{1+{4k}^{2}}$；-------②
可得y₁+y₂=k（x₁+2）+k（x₂+2）=k（x₁+x₂）+4k；----③
由①②③，解得x₂=$\frac{2-{8k}^{2}}{1+{4k}^{2}}$，y₂=$\frac{4k}{1+{4k}^{2}}$；
由点A在以PQ为直径的圆外，得∠PAQ为锐角，即$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$＞0；
由$\overrightarrow{AP}$=（-2，-1），$\overrightarrow{AQ}$=（x₂，y₂-1），
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=-2x₂-y₂+1＞0；
即$\frac{4-1{6k}^{2}}{1+{4k}^{2}}$+$\frac{4k}{1+{4k}^{2}}$-1＜0，
整理得，20k²-4k-3＞0，
解得：k＜-$\frac{3}{10}$或k＞$\frac{1}{2}$，
∴实数k的取值范围是k＜-$\frac{3}{10}$或k＞$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，推理论证能力，考查了函数与方程思想，数形结合思想，化归与转化思想，训练了利用平面向量数量积求解几何问题，是中档题．