Question

【题目】已知函数f（x）=ln ．
（1）求函数f（x）的定义域，并判断函数f（x）的奇偶性；
（2）对于x∈[2，6]，f（x）＞ln 恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：函数f（x）=ln ，

∴ ＞0，

解得：x＞1或x＜﹣1，

函数f（x）的定义域为{x|x＞1或x＜﹣1}．

f（x）=ln ，

那么：f（﹣x）=ln =ln（ ）=ln =﹣ln =﹣f（x）

故函数f（x）是奇函数

（2）

解：由题意：x∈[2，6]，

∴（x﹣1）（7﹣x）＞0，

∵ ＞0，可得：m＞0．

即：ln ＞ln 恒成立，

整理：ln ﹣ln ＞0，

化简：ln ＞0，

可得： ＞1，

（x+1）（7﹣x）﹣m＞0，即：﹣x2+6x+7＞m，（x∈[2，6]）恒成立，只需m小于﹣x2+6x+7的最小值．

令：y=﹣x2+6x+7=﹣（x﹣3）2+16

开口向下，x∈[2，6]，

当x=6时，y取得最小值，即 ，

所以：实数m的取值范围（0，7）

【解析】（1）对数函数的指数大于0，从而求解定义域．根据函数的奇偶性进行判断即可．（2）利用对数函数的性质化简不等式，转化为二次函数的问题求解m的取值范围．
【考点精析】掌握对数函数的单调性与特殊点是解答本题的根本，需要知道过定点（1，0），即x=1时，y=0;a>1时在（0，+∞）上是增函数;0>a>1时在（0，+∞）上是减函数．