Question

11．已知函数f（x）=|1-2x|-|1+x|．
（1）解不等式f（x）≥4；
（2）若关于x的不等式a²+2a+|1+x|＜f（x）有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，即可解不等式f（x）≥4；
（2）关于x的不等式a²+2a+|1+x|＜f（x）有解，即a²+2a＜|2x-1|-|2x+2|，而|2x-1|-|2x+2|≤|2x-1-（2x+2）|=3，故有a²+2a＜3，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=|1-2x|-|1+x|，故f（x）≥4，即|1-2x|-|1+x|≥4．
∴$\left\{\begin{array}{l}x＜-1\\ 1-2x+x+1≥4\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}-1≤x≤\frac{1}{2}\\ 1-2x-x-1≥4\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}x＞\frac{1}{2}\\ 2x-1-x-1≥4\end{array}\right.$③．
解①求得x≤-2，解②求得x∈∅，解③求得x≥6，
综上可得，原不等式的解集为{x|x≤-2或x≥6}．
（2）关于x的不等式a²+2a+|1+x|＜f（x）有解，即a²+2a＜|2x-1|-|2x+2|，
而|2x-1|-|2x+2|≤|2x-1-（2x+2）|=3，故有a²+2a＜3，求得-3＜a＜1．
即实数a的取值范围为{a|-3＜a＜1}．

点评 本题考查学生对绝对值不等式的理解与运用，考查学生对绝对值函数的运算求解能力，考查分类与整合、函数与方程思想和数形结合等思想．