Question

19．在直角△ABC中，$∠A=\frac{π}{2}$，AB=1，AC=2，M是△ABC内一点，且$AM=\frac{1}{2}$，若$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$，则λ+2μ的最大值$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（0，1），C（2，0），M（$\frac{1}{2}cosθ$，$\frac{1}{2}sinθ$），（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），由已知可得$λ=\frac{1}{2}sinθ，2μ=\frac{1}{2}cosθ$，则λ+2μ=$\frac{1}{2}（sinθ+cosθ）=\frac{\sqrt{2}}{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$，即可求解．

解答 解：如图建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（0，1），C（2，0）
M（$\frac{1}{2}cosθ$，$\frac{1}{2}sinθ$）（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），
∵$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$，∴（$（\frac{1}{2}cosθ，\frac{1}{2}sinθ）=λ（0，1）+μ（2，0）$．
∴$λ=\frac{1}{2}sinθ，2μ=\frac{1}{2}cosθ$，
则λ+2μ=$\frac{1}{2}（sinθ+cosθ）=\frac{\sqrt{2}}{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$，
∴当θ=$\frac{π}{4}$时，λ+2μ最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$

点评 本题考查向量的线性运算，平面向量的基本定理及其意义，建立坐标系，利用坐标运算，是一种常见的处理技巧，属于中档题．