Question

9．已知函数f（x）=$\frac{e^x}{x}$．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点P（2，$\frac{e^2}{2}$）处的切线方程；
（Ⅱ）证明：f（x）＞2（x-lnx）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过导函数求解切线的斜率，得到切点坐标，然后求解切线方程．
（Ⅱ）设函数$g（x）=f（x）-2（x-lnx）=\frac{e^x}{x}-2x+2lnx$，$g'（x）=\frac{{（{e^x}-2x）（x-1）}}{x^2}$，x∈（0，+∞），
设h（x）=e^x-2x，x∈（0，+∞），求出导函数，通过导函数的符号，求解g（x）_min=g（1）=e-2＞0，从而证明结果．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=\frac{e^x}{x}$，∴$f'（x）=\frac{{{e^x}（x-1）}}{x^2}$，$f'（2）=\frac{e^2}{4}$，又切点为$（2，\frac{e^2}{2}）$，
所以切线方程为$y-\frac{e^2}{2}=\frac{e^2}{4}（x-2）$，即e²x-4y=0．
（Ⅱ）证明：设函数$g（x）=f（x）-2（x-lnx）=\frac{e^x}{x}-2x+2lnx$，$g'（x）=\frac{{（{e^x}-2x）（x-1）}}{x^2}$，x∈（0，+∞），
设h（x）=e^x-2x，x∈（0，+∞），则h'（x）=e^x-2，令h'（x）=0，则x=ln2，
所以x∈（0，ln2），h'（x）＜0；x∈（ln2，+∞），h'（x）＞0．
则h（x）≥h（ln2）=2-2ln2＞0，
令$g'（x）=\frac{{（{e^x}-2x）（x-1）}}{x^2}=0$，可得x=1，
所以x∈（0，1），g'（x）＜0；x∈（1，+∞），g'（x）＞0；
则g（x）_min=g（1）=e-2＞0，从而有当x∈（0，+∞），f（x）＞2（x-lnx）．

点评 本题考查函数与导数的应用，函数的最值，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力．