Question

10．已知变量x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+4≥0}\\{x≤2}\\{x+y-2≥0}\end{array}\right.$则Z=$\frac{y+1}{x+2}$的取值范围是$[\frac{1}{4}，\frac{3}{2}]$．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，利用z=$\frac{y+1}{x+2}$的几何意义结合两点连线的斜率得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-2y+4≥0\\ x≤2\\ x+y-2≥0\end{array}\right.$作出可行域如图，
联立$\left\{\begin{array}{l}x-2y+4=0\\ x+y-2=0\end{array}\right.$，解得：B（0，2），
联立$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ x+y-2=0\end{array}\right.$，解得A（2，0），
z=$\frac{y+1}{x+2}$的几何意义是可行域内的动点与定点P（-2，-1）连线的斜率，
∵k_PA=$\frac{0+1}{2+2}$=$\frac{1}{4}$，k_PB=$\frac{2+1}{0+2}$=$\frac{3}{2}$．
∴z=$\frac{y+1}{x+2}$的取值范围是：[$\frac{1}{4}，\frac{3}{2}$]．
故答案为：$[\frac{1}{4}，\frac{3}{2}]$．

点评 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，是中档题．